Nagrinėjant kūnų judėjimą ir sąveikas, ypač susidūrimus ar sprogimus, yra naudinga įvesti dar vieną svarbią fizikinę sąvoką – judesio kiekį, dar vadinamą impulsu. Ši sąvoka glaudžiai susijusi su antruoju Niutono dėsniu ir veda prie vieno iš fundamentaliųjų gamtos tvermės dėsnių – judesio kiekio tvermės dėsnio. Šiame straipsnyje išsiaiškinsime, kas yra judesio kiekis ir jėgos impulsas, kaip formuluojamas ir taikomas tvermės dėsnis analizuojant kūnų smūgius ir reaktyvųjį judėjimą, kurio principus aprašė ir lietuvių mokslininkas Kazimieras Semenavičius.
Judesio kiekis (impulsas): judėjimo „kiekis“
Intuityviai suprantame, kad judantį sunkvežimį sustabdyti sunkiau nei lengvąjį automobilį, net jei jų greičiai vienodi. Taip pat sunkiau sustabdyti greitai skriejančią kulką nei lėtai riedantį kamuolį, nors jų masės gali būti panašios. Šį „judėjimo kiekį“ fizikoje apibūdina judesio kiekis (impulsas).
- Apibrėžimas: Kūno judesio kiekis ($\vec{p}$) yra fizikinis dydis, lygus kūno masės ($m$) ir jo greičio ($\vec{v}$) sandaugai. $$ \vec{p} = m\vec{v} $$
- Savybės:
- Tai vektorinis dydis, jo kryptis sutampa su kūno greičio kryptimi.
- SI vienetas: kg·m/s.
- Judesio kiekis priklauso tiek nuo masės, tiek nuo greičio. Nejudančio kūno judesio kiekis lygus nuliui.
- Sistemos judesio kiekis: Kūnų sistemos (pvz., dviejų susiduriančių biliardo rutulių) judesio kiekis yra lygus visų sistemos kūnų judesio kiekių vektorinei sumai: $$ \vec{p}{sist} = \sum{i} \vec{p}_i = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + ... $$
Vaizdinė medžiaga: Iliustracija, rodanti du skirtingos masės kūnus, judančius skirtingais greičiais, ir jų judesio kiekio vektorius.
Jėgos impulsas: jėgos veikimo rezultatas per laiką
Kas pakeičia kūno judesio kiekį? Antrasis Niutono dėsnis sako, kad pagreitį (taigi ir greičio pokytį) sukelia jėga. Galima performuluoti antrąjį Niutono dėsnį, kad jis tiesiogiai sietų jėgą su judesio kiekio pokyčiu.
- Antrasis Niutono dėsnis impulso forma: Prisiminkime, kad $\vec{a} = \Delta \vec{v} / \Delta t$. Įstatę tai į $\vec{F} = m\vec{a}$ (tarkime, masė pastovi), gauname: $$ \vec{F} = m \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\vec{v})}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} $$ Taigi, kūną veikianti atstojamoji jėga yra lygi kūno judesio kiekio pokyčiui per laiko vienetą.
- Jėgos impulsas ($\vec{I}$): Dydis, lygus kūną veikiančios jėgos ($\vec{F}$) ir jos veikimo trukmės ($\Delta t$) sandaugai, vadinamas jėgos impulsu: $$ \vec{I} = \vec{F} \Delta t $$
- Teorema: Iš antrojo Niutono dėsnio impulso formos ($\vec{F} = \Delta \vec{p} / \Delta t$) išplaukia, kad jėgos impulsas yra lygus kūno judesio kiekio pokyčiui: $$ \vec{I} = \vec{F} \Delta t = \Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1 $$ SI jėgos impulso vienetas yra N·s, kuris lygus kg·m/s. Ši teorema ypač naudinga analizuojant trumpalaikes sąveikas, pvz., smūgius, kai sunku nustatyti tikslią jėgos priklausomybę nuo laiko, bet galima įvertinti judesio kiekio pokytį.
Vaizdinė medžiaga: Grafikai $p(t)$ ir $F(t)$. $F(t)$ grafike plotas po kreive per intervalą $\Delta t$ yra lygus jėgos impulsui $I$.
Interaktyvūs elementai:
-
Uždavinio sprendimo pavyzdys:
Kamuolys, kurio masė 0.5 kg, atsitrenkia į sieną 10 m/s greičiu statmenai sienai ir atšoka atgal 8 m/s greičiu. Sąveika su siena truko 0.01 s. Raskite kamuolio judesio kiekio pokytį ir vidutinę sąveikos jėgą.
Duota: $m = 0.5$ kg, $v_1 = 10$ m/s (link sienos), $v_2 = 8$ m/s (nuo sienos), $\Delta t = 0.01$ s.
Rasti: $\Delta \vec{p} = ?$, $\vec{F}_{vid} = ?$.
Sprendimas:
1. Pasirenkame Ox ašį statmenai sienai, teigiama kryptis – nuo sienos. Tada $v_{1x} = -10$ m/s, $v_{2x} = +8$ m/s.
2. Judesio kiekio pokytis (vektorius turės tik x komponentę):
$$ \Delta p_x = p_{2x} - p_{1x} = m v_{2x} - m v_{1x} = m (v_{2x} - v_{1x}) $$
$$ \Delta p_x = (0.5 \text{ kg}) (8 \text{ m/s} - (-10 \text{ m/s})) = 0.5 \text{ kg} \cdot (18 \text{ m/s}) = 9 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$
Judesio kiekio pokytis yra teigiamas, nukreiptas nuo sienos.
3. Vidutinė sąveikos jėga (taip pat turės tik x komponentę):
$$ F_{vid, x} = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{9 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{0.01 \text{ s}} = 900 \text{ N} $$
Vidutinė jėga yra teigiama, t.y., siena veikė kamuolį jėga, nukreipta nuo sienos.
Atsakymas: Judesio kiekio pokyčio modulis $|\Delta \vec{p}| = 9 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$, vidutinės sąveikos jėgos modulis $|\vec{F}_{vid}| = 900$ N.
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kas išlieka uždaroje sistemoje?
Vienas svarbiausių fizikos dėsnių yra judesio kiekio tvermės dėsnis. Jis teigia, kad tam tikromis sąlygomis bendras sistemos judesio kiekis nekinta.
- Uždara (izoliuota) sistema: Tai kūnų sistema, kurios neveikia išorinės jėgos arba tų jėgų atstojamoji lygi nuliui. Sistemos kūnai gali sąveikauti tik tarpusavyje vidinėmis jėgomis. Realiame pasaulyje visiškai uždarų sistemų nėra, bet dažnai galima išskirti sistemas, kuriose išorinių jėgų poveikis per trumpą sąveikos laiką (pvz., smūgio metu) yra nereikšmingas palyginti su vidinėmis jėgomis.
- Dėsnio formuluotė: Uždaros kūnų sistemos pilnutinis judesio kiekis laikui bėgant nekinta (yra pastovus). $$ \vec{p}{sist} = \sum{i} \vec{p}_i = \text{const} $$ Arba, jei sistema sudaryta iš dviejų kūnų, sąveikaujančių tarpusavyje: $$ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}'_1 + \vec{p}'_2 $$ kur $\vec{p}_1, \vec{p}_2$ yra kūnų judesio kiekiai prieš sąveiką, o $\vec{p}'_1, \vec{p}'_2$ – po sąveikos.
- Išvedimas: Dėsnis išplaukia iš II ir III Niutono dėsnių. Tarkime, du kūnai 1 ir 2 sąveikauja jėgomis $\vec{F}{12}$ ir $\vec{F}{21}$. Pagal III Niutono dėsnį $\vec{F}{12} = -\vec{F}{21}$. Pagal II Niutono dėsnį impulso forma: $\vec{F}_{12} = \Delta \vec{p}2 / \Delta t$ ir $\vec{F}{21} = \Delta \vec{p}_1 / \Delta t$. Įstatę į trečiąjį dėsnį: $\Delta \vec{p}_2 / \Delta t = - \Delta \vec{p}_1 / \Delta t$. Suprastinę $\Delta t$, gauname $\Delta \vec{p}_2 = - \Delta \vec{p}_1$, arba $\Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2 = 0$. Tai reiškia, kad bendras judesio kiekio pokytis lygus nuliui, t.y., bendras judesio kiekis nekinta.
Interaktyvūs elementai:
- 🔗 Interaktyvi simuliacija „Susidūrimų laboratorija“ (PhET) (Leidžia modeliuoti įvairius susidūrimus, stebėti judesio kiekio ir energijos tvermę).
- Virtualus tyrimas: Kūnų judesio kiekio tvermės dėsnio tyrimas, nustatant kūnų greičius prieš ir po sąveikos (pvz., naudojant oro trasą ar simuliaciją).
Smūgiai: tamprūs ir netamprūs susidūrimai
Judesio kiekio tvermės dėsnis ypač naudingas analizuojant kūnų susidūrimus (smūgius). Smūgiai skirstomi pagal tai, ar sąveikos metu išlieka mechaninė energija.
- Absoliučiai tamprus smūgis: Toks smūgis, kurio metu ne tik išlieka pilnutinis sistemos judesio kiekis, bet ir išlieka pilnutinė mechaninė (kinetinė) energija. Kūnai po smūgio neprilimpa vienas prie kito. Pavyzdžiai (apytiksliai): biliardo rutulių susidūrimas, molekulių susidūrimai.
- Judesio kiekio tvermė: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2$
- Kinetinės energijos tvermė: $\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1u_1^2}{2} + \frac{m_2u_2^2}{2}$
- Absoliučiai netamprus smūgis: Toks smūgis, kurio metu išlieka pilnutinis sistemos judesio kiekis, tačiau mechaninė energija neišlieka – dalis jos virsta vidine energija (kūnai įšyla, deformuojasi). Po tokio smūgio kūnai juda kartu, kaip vienas kūnas, turintis bendrą greitį $\vec{u}$.
- Judesio kiekio tvermė: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1+m_2)\vec{u}$
- Mechaninė energija sumažėja: $\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} > \frac{(m_1+m_2)u^2}{2}$ Pavyzdžiai: plastilino gabalėlių susidūrimas, kulkos įstrigimas taikinyje, vagonų sukabinimas.
- Realūs smūgiai: Dauguma realių smūgių yra tarpiniai tarp absoliučiai tampraus ir absoliučiai netampraus – dalis mechaninės energijos prarandama, bet kūnai nebūtinai juda kartu.
- Centriniai ir necentriniai smūgiai: Jei kūnai prieš smūgį juda išilgai tiesės, einančios per jų masės centrus, smūgis vadinamas centriniu. Priešingu atveju – necentriniu.
Interaktyvūs elementai:
-
Virtualūs bandymai: Simuliacijose (pvz., PhET "Collision Lab") galima modeliuoti tamprius ir netamprius smūgius, keisti kūnų mases, greičius, tamprumą ir stebėti rezultatus.
-
Uždavinio sprendimo pavyzdys:
Platforma, kurios masė 100 kg, rieda 2 m/s greičiu. Ant jos užšoka 60 kg masės žmogus, judėjęs platformos judėjimo kryptimi 5 m/s greičiu platformos atžvilgiu. Kokiu greičiu po užšokimo juda platforma su žmogumi?
Duota: $m_1 = 100$ kg (platforma), $v_1 = 2$ m/s, $m_2 = 60$ kg (žmogus), $v'_2 = 5$ m/s (žmogaus greitis platformos atžvilgiu). Reikia rasti žmogaus greitį $v_2$ Žemės (nejudančios sistemos) atžvilgiu: $v_2 = v'_2 + v_1 = 5 \text{ m/s} + 2 \text{ m/s} = 7 \text{ m/s}$.
Rasti: Bendrą greitį $u = ?$.
Sprendimas: Tai netampraus smūgio pavyzdys (žmogus lieka ant platformos). Taikome judesio kiekio tvermės dėsnį (judėjimas viena kryptimi, todėl galime naudoti skaliarinę formą):
$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u $$
$$ u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{(100 \text{ kg})(2 \text{ m/s}) + (60 \text{ kg})(7 \text{ m/s})}{100 \text{ kg} + 60 \text{ kg}} $$
$$ u = \frac{200 + 420}{160} \, \text{m/s} = \frac{620}{160} \, \text{m/s} = 3.875 \, \text{m/s} $$
Atsakymas: Platforma su žmogumi juda $3.875 \, \text{m/s}$ greičiu.
Reaktyvusis judėjimas: K. Semenavičius ir raketos
Reaktyvusis judėjimas yra judėjimas, atsirandantis kūnui atsiskiriant kokiai nors jo daliai tam tikru greičiu kūno atžvilgiu. Tai tiesioginė judesio kiekio tvermės dėsnio pasekmė.
- Principas: Tarkime, raketa (masė $M$) išmeta degėsius (masė $m$) greičiu $\vec{u}$ raketos atžvilgiu. Jei iki degėsių išmetimo raketa buvo ramybės būsenoje ($\vec{p}{prad} = 0$), tai po išmetimo sistemos (raketa + degėsiai) judesio kiekis taip pat turi būti lygus nuliui. Jei raketa įgyja greitį $\vec{V}$, o degėsių greitis nejudančios sistemos atžvilgiu yra $\vec{v}{deg}$, tai: $$ M\vec{V} + m\vec{v}{deg} = 0 $$ Kadangi $\vec{v}{deg} = \vec{V} + \vec{u}$ (greičių sudėtis, $\vec{u}$ nukreiptas prieš $\vec{V}$), galime rasti raketos greitį. Svarbiausia išvada: norint padidinti raketos greitį $\vec{V}$, reikia išmesti kuo didesnę masę $m$ kuo didesniu greičiu $\vec{u}$.
- Pavyzdžiai: Raketų, reaktyvinių lėktuvų judėjimas, šuolis iš valties, šūvis iš patrankos (patrankos atatranka).
- Kazimieras Semenavičius: Kaip minėta anksčiau (🔗 Fizikos istorija: nuo obuolio iki lazerių ir Lietuvos indėlis), šis XVII a. LDK mokslininkas savo veikale „Didysis artilerijos menas“ aprašė daugiapakopių raketų idėją, kuri leidžia pasiekti daug didesnius greičius, nes atsikratoma nebereikalingų pakopų masės.
Vaizdinė medžiaga: Raketos veikimo schema, iliustruojanti degėsių išmetimą ir judesio kiekio tvermę. Kazimiero Semenavičiaus raketų brėžinių reprodukcijos.
Apibendrinimas
Judesio kiekis ($ \vec{p} = m\vec{v} $) yra svarbi judančio kūno charakteristika. Jėgos impulsas ($ \vec{I} = \vec{F} \Delta t $) yra lygus judesio kiekio pokyčiui ($ \Delta \vec{p} $). Uždaroje kūnų sistemoje pilnutinis judesio kiekis išlieka pastovus – tai judesio kiekio tvermės dėsnis. Šis dėsnis yra universalus ir taikomas analizuojant įvairias sąveikas, ypač smūgius (tamprius ir netamprius) bei reaktyvųjį judėjimą. Reaktyviojo judėjimo principas, pagrįstas judesio kiekio tverme, yra raketų technikos pagrindas, kurio idėjas plėtojo ir Kazimieras Semenavičius.
Klausimai pamąstymui
- Du kūnai, kurių masės vienodos, juda vienas priešais kitą vienodais greičiais. Koks yra šios sistemos pilnutinis judesio kiekis? Kas atsitiks po jų absoliučiai netampraus smūgio? O po absoliučiai tampraus?
- Kodėl šaunant iš šautuvo jaučiama atatranka? Kaip atatrankos greitis priklauso nuo kulkos masės, šautuvo masės ir kulkos greičio?
- Ar gali sistemos kinetinė energija padidėti po sąveikos (pvz., sprogimo)? Kaip tai suderinama su judesio kiekio tvermės dėsniu?
- Kaip manote, kokie yra pagrindiniai iššūkiai kuriant efektyvias kosmines raketas, remiantis reaktyviojo judėjimo principais?
Kur ieškoti daugiau?
- Interaktyvios simuliacijos (PhET Colorado):
- 🔗 „Susidūrimų laboratorija“ (Įvairių tipų smūgių modeliavimas)
- Video pamokos:
- Apie Kazimierą Semenavičių:
- Struktūrinių klausimų pavyzdžiai: