Niutono dėsniai ir jėgos: kodėl kūnai juda?

Ankstesniame straipsnyje (🔗 Judėjimas aplink mus: nuo tiesės iki parabolės) nagrinėjome, kaip kūnai juda (kinematika). Dabar žengsime žingsnį toliau ir aiškinsimės, kodėl kūnai juda arba keičia savo judėjimą. Šį fizikos skyrių vadiname dinamika, o jos pagrindą sudaro jėgos samprata ir trys fundamentalūs Izaoko Niutono dėsniai. Šiame straipsnyje detaliai išnagrinėsime šiuos dėsnius ir aptarsime svarbiausias jėgas, su kuriomis susiduriame kasdien.

Kas yra jėga ir kaip ją matuojame bei vaizduojame?

Kasdienėje kalboje „jėga“ reiškia daug ką, tačiau fizikoje jėga ($\vec{F}$) yra tiksliai apibrėžtas dydis:

• Apibrėžimas: Jėga yra fizikinis dydis, apibūdinantis kūnų sąveiką, t. y., vieno kūno poveikį kitam. Šis poveikis gali pasireikšti kūno greičio kitimu (pagreičiu) arba kūno deformacija.
• Vektorinis pobūdis: Jėga yra vektorinis dydis. Jai apibūdinti nepakanka vien skaitinės vertės (modulio), reikia nurodyti ir jos kryptį bei poveikio (pridėties) tašką. Grafiškai jėgą vaizduojame kaip kryptinę atkarpą (rodyklę).
• Matavimas: Paprasčiausias prietaisas jėgai matuoti yra dinamometras, kurio veikimas pagrįstas spyruoklės pailgėjimu veikiant jėgai (Huko dėsnis). SI jėgos vienetas yra niutonas (N). 1 N – tai jėga, kuri 1 kg masės kūnui suteikia 1 m/s² pagreitį ($1 , \text{N} = 1 , \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$).
• Jėgų rūšys: Gamtoje egzistuoja įvairios sąveikos, kurias apibūdina skirtingos jėgos: gravitacijos (traukos), elektromagnetinės (tarp jų – tamprumo, trinties), stipriosios ir silpnosios (pasireiškia atomų branduoliuose). Šiame skyriuje daugiausia dėmesio skirsime mechanikoje svarbiausioms – gravitacijos, tamprumo ir trinties jėgoms.
• Atstojamoji jėga ($\vec{R}$ arba $\sum \vec{F}$): Kai kūną veikia kelios jėgos, jų bendrą poveikį apibūdina atstojamoji jėga, kuri lygi visų kūną veikiančių jėgų vektorinei sumai. Atstojamąją randame taikydami vektorių sudėties taisykles (lygiagretainio arba daugiakampio). Jei atstojamoji lygi nuliui, sakoma, kad jėgos kompensuoja viena kitą.

Vaizdinė medžiaga: Dinamometro nuotrauka/schema. Brėžiniai, iliustruojantys jėgos kaip vektoriaus vaizdavimą (rodyklė su kryptimi ir ilgiu) ir atstojamosios jėgos radimą dviem ar daugiau jėgų (lygiagretainio ir daugiakampio taisyklės).

Pirmasis Niutono dėsnis: inercijos principas

Šis dėsnis aprašo kūnų elgesį, kai jų neveikia jėgos arba veikiančių jėgų atstojamoji lygi nuliui.

• Formuluotė: Egzistuoja tokios atskaitos sistemos, kurių atžvilgiu kūnas išlaiko ramybės būseną arba juda tiesiai ir tolygiai, jei jo neveikia jokios jėgos arba veikiančių jėgų atstojamoji lygi nuliui. $$ \sum \vec{F} = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = \text{const} $$
• Inercija: Kūno savybė priešintis jo greičio kitimui vadinama inercija. Kūno inertiškumo matas yra jo masė ($m$). Kuo kūno masė didesnė, tuo jis inertiškesnis – tuo sunkiau pakeisti jo greitį.
• Inercinės atskaitos sistemos: Atskaitos sistemos, kuriose galioja pirmasis Niutono dėsnis, vadinamos inercinėmis. Jei turime vieną inercinę sistemą, tai bet kuri kita sistema, judanti jos atžvilgiu tiesiai ir tolygiai, taip pat yra inercinė. Sistema, judanti su pagreičiu inercinės sistemos atžvilgiu, yra neinercinė (joje Niutono dėsniai tiesiogiai negalioja, atsiranda vadinamosios inercijos jėgos). Praktikoje Žemę dažnai laikome apytiksliai inercine sistema.

Interaktyvūs elementai:

• 🔗 Video demonstruojantis inercijos reiškinius (pvz., staigiai patraukus staltiesę, indai lieka vietoje; staigiai stabdant autobusą, keleiviai palinksta pirmyn).

Antrasis Niutono dėsnis: pagrindinis dinamikos dėsnis

Šis dėsnis kiekybiškai susieja kūną veikiančią jėgą, kūno masę ir jo įgytą pagreitį.

• Formuluotė: Kūno įgytas pagreitis yra tiesiogiai proporcingas kūną veikiančiai atstojamajai jėgai ir atvirkščiai proporcingas kūno masei. Pagreičio kryptis sutampa su atstojamosios jėgos kryptimi. $$ \vec{a} = \frac{\sum \vec{F}}{m} \quad \text{arba} \quad \sum \vec{F} = m\vec{a} $$
• Reikšmė: Tai pagrindinis dinamikos dėsnis, leidžiantis apskaičiuoti kūno judėjimą, kai žinomos jį veikiančios jėgos, arba rasti veikiančią jėgą, kai žinomas kūno judėjimas (pagreitis). Jis galioja inercinėse atskaitos sistemose.

Interaktyvūs elementai:

• 🔗 Interaktyvi simuliacija „Jėgos ir judėjimas: pagrindai“ (PhET) (Leidžia stumdyti įvairios masės daiktus, matyti veikiančias jėgas, pagreitį ir greitį).

• Uždavinio sprendimo pavyzdys:

  Kokiu pagreičiu juda 500 kg masės automobilis, jei variklio traukos jėga yra 1500 N, o pasipriešinimo judėjimui jėga – 500 N?

  Duota: $m = 500$ kg, $F_{traukos} = 1500$ N, $F_{pasipr} = 500$ N.

  Rasti: $a = ?$.

  Sprendimas:

  1. Randame kūną veikiančią atstojamąją jėgą judėjimo kryptimi. Traukos jėga veikia judėjimo kryptimi, pasipriešinimo – priešinga kryptimi. Tarkime, judėjimo kryptis yra teigiama Ox ašies kryptis.

  $$ \sum F_x = F_{traukos} - F_{pasipr} = 1500 \text{ N} - 500 \text{ N} = 1000 \text{ N} $$

  2. Taikome antrąjį Niutono dėsnį ($\sum F_x = ma_x$):

  $$ a_x = \frac{\sum F_x}{m} = \frac{1000 \text{ N}}{500 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s}^2 $$

  Atsakymas: Automobilis juda $2 \text{ m/s}^2$ pagreičiu.

Trečiasis Niutono dėsnis: veiksmas lygus atoveiksmiui

Šis dėsnis aprašo pačią sąveiką tarp dviejų kūnų.

• Formuluotė: Du kūnai sąveikauja jėgomis, kurios yra lygios savo moduliais, bet priešingos kryptimis ir veikia išilgai juos jungiančios tiesės. $$ \vec{F}{12} = -\vec{F}{21} $$ kur $\vec{F}{12}$ yra jėga, kuria pirmas kūnas veikia antrą, o $\vec{F}{21}$ – jėga, kuria antras kūnas veikia pirmą.
• Svarbios pastabos:
  • Veiksmo ir atoveiksmio jėgos visada atsiranda poromis.
  • Jos veikia skirtingus kūnus, todėl niekada viena kitos nekompensuoja (nesudedamos į atstojamąją tam pačiam kūnui).
  • Jos yra tos pačios prigimties (pvz., jei viena yra gravitacinė, tai ir kita gravitacinė).

Vaizdinė medžiaga: Diagrama, iliustruojanti trečiąjį Niutono dėsnį (pvz., žmogus stumia sieną – siena stumia žmogų; Žemė traukia Mėnulį – Mėnulis traukia Žemę).

Visuotinės traukos dėsnis: kosminė sąveika

Viena iš keturių fundamentaliųjų sąveikų gamtoje yra gravitacija. Jos kiekybinį aprašymą pateikė Niutonas.

• Formuluotė: Bet kurie du masę turintys kūnai traukia vienas kitą jėga, kurios modulis yra tiesiogiai proporcingas jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcingas atstumo tarp jų kvadratui. $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$ kur $m_1$ ir $m_2$ yra kūnų masės, $r$ – atstumas tarp kūnų centrų (materialiesiems taškams arba sferiškai simetriškiems kūnams), o $G$ – gravitacijos konstanta, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} , \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$. Gravitacijos jėga yra labai silpna, ji tampa reikšminga tik tada, kai bent vieno iš sąveikaujančių kūnų masė yra labai didelė (pvz., planetos, žvaigždės).
• Laisvojo kritimo pagreitis: Laisvojo kritimo pagreitis $g$ prie Žemės (ar kitos planetos) paviršiaus yra tos planetos gravitacinės traukos pasekmė. Taikydami antrąjį Niutono dėsnį ir visuotinės traukos dėsnį kūnui, kurio masė $m$, esančiam prie planetos, kurios masė $M$ ir spindulys $R$, paviršiaus ($F = mg$ ir $F = G \frac{Mm}{R^2}$), gauname: $$ mg = G \frac{Mm}{R^2} \Rightarrow g = G \frac{M}{R^2} $$ Analogiškai, laisvojo kritimo pagreitis aukštyje $h$ virš planetos paviršiaus: $$ g_h = G \frac{M}{(R+h)^2} $$ Matome, kad $g$ priklauso nuo planetos masės ir spindulio, bet ne nuo krintančio kūno masės! Aukštyje $h$ virš Žemės paviršiaus $g_h$ yra mažesnis nei prie paviršiaus.

Interaktyvūs elementai:

• Uždavinio sprendimo pavyzdys:

  Apskaičiuokite laisvojo kritimo pagreitį Tarptautinės kosminės stoties (TKS) orbitoje, kuri yra maždaug 400 km aukštyje virš Žemės paviršiaus. Žemės masė $M \approx 5.97 \times 10^{24}$ kg, Žemės spindulys $R \approx 6.37 \times 10^6$ m, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$.

  Duota: $h = 400 \, \text{km} = 4 \times 10^5$ m, $M \approx 5.97 \times 10^{24}$ kg, $R \approx 6.37 \times 10^6$ m, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$.

  Rasti: $g_h = ?$.

  Sprendimas: Naudosime formulę $g_h = G \frac{M}{(R+h)^2}$.

  Atstumas nuo Žemės centro iki TKS: $R+h = (6.37 \times 10^6 \text{ m}) + (0.4 \times 10^6 \text{ m}) = 6.77 \times 10^6$ m.

  $$ g_h = (6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \frac{5.97 \times 10^{24} \text{ kg}}{(6.77 \times 10^6 \text{ m})^2} $$

  $$ g_h \approx \frac{6.67 \times 5.97}{6.77^2} \times \frac{10^{-11} \times 10^{24}}{(10^6)^2} \, \frac{\text{N}}{\text{kg}} \approx \frac{39.82}{45.83} \times 10^{-11+24-12} \, \text{m/s}^2 $$

  $$ g_h \approx 0.869 \times 10^1 \, \text{m/s}^2 \approx 8.69 \, \text{m/s}^2 $$

  Atsakymas: Laisvojo kritimo pagreitis TKS orbitoje yra maždaug $8.69 \, \text{m/s}^2$ (šiek tiek mažesnis nei prie Žemės paviršiaus, bet tikrai ne nulis!).

Svoris, nesvarumas ir perkrova: ką jaučiame lifte?

• Svoris ($\vec{P}$): Tai jėga, kuria kūnas dėl Žemės traukos veikia atramą (pvz., grindis, svarstykles) arba pakabą (pvz., siūlą, spyruoklę). Svarbu nesupainioti svorio su sunkio jėga ($\vec{F}_s = m\vec{g}$), kuri yra Žemės traukos jėga, veikianti patį kūną. Kai kūnas ir atrama yra ramybės būsenoje arba juda tiesiai ir tolygiai vertikalia kryptimi inercinės sistemos atžvilgiu, svorio modulis lygus sunkio jėgos moduliui ($P = mg$).
• Svorio kitimas judant su pagreičiu: Kai kūnas juda su pagreičiu $\vec{a}$ vertikalia kryptimi, jo svoris kinta. Tarkime, kūnas yra ant atramos lifte:
  • Liftas juda su pagreičiu $\vec{a}$ aukštyn: Kūną veikia sunkio jėga $m\vec{g}$ žemyn ir atramos reakcijos jėga $\vec{N}$ aukštyn. Pagal III Niutono dėsnį, kūno svoris $\vec{P}$ yra lygus reakcijos jėgai, tik priešingos krypties ($P=N$). Pagal II Niutono dėsnį: $\sum F_y = N - mg = ma$. Iš čia $N = mg + ma = m(g+a)$. Taigi, svoris padidėja: $P = m(g+a)$. Ši būsena vadinama perkrova.
  • Liftas juda su pagreičiu $\vec{a}$ žemyn: $\sum F_y = mg - N = ma$. Iš čia $N = mg - ma = m(g-a)$. Taigi, svoris sumažėja: $P = m(g-a)$.
• Nesvarumas: Jei kūnas laisvai krinta ($a=g$), tai jo svoris tampa lygus nuliui: $P = m(g-g) = 0$. Tai nesvarumo būsena. Svarbu suprasti, kad nesvarumo būsenoje sunkio jėga ($mg$) kūną vis tiek veikia! Nesvarumą patiria kosmonautai orbitoje, nes jie ir kosminė stotis nuolat „krenta“ link Žemės (juda tik veikiami gravitacijos).

Vaizdinė medžiaga: Schemos, vaizduojančios jėgas, veikiančias kūną lifte, judant su pagreičiu aukštyn, žemyn ir laisvai krintant.

Tamprumo jėga: Huko dėsnis spyruoklėms ir ne tik

Kai kūnas deformuojamas (keičiama jo forma ar tūris), jame atsiranda jėgos, besipriešinančios deformacijai. Jei kūnui nustojus veikti išorinei jėgai jis atgauna pradinę formą, deformacija vadinama tampriąja, o atsirandančios jėgos – tamprumo jėgomis.

• Huko dėsnis: Esant nedidelėms tampriosioms deformacijoms, tamprumo jėga yra tiesiogiai proporcinga kūno pailgėjimui (arba suspaudimui) ir nukreipta priešinga deformacijos krypčiai. Pvz., spyruoklei: $$ F_{tampr} = -kx $$ kur $x$ yra spyruoklės pailgėjimas (arba sutrumpėjimas) nuo pusiausvyros padėties, o $k$ – standumo koeficientas, priklausantis nuo spyruoklės savybių (medžiagos, matmenų). Kuo $k$ didesnis, tuo spyruoklė standesnė. Minuso ženklas rodo, kad jėga nukreipta priešinga pailgėjimo krypčiai.
• Atramos reakcijos jėga ($\vec{N}$): Tai taip pat tamprumo jėga, kuria atrama (pvz., stalas, grindys) veikia ant jos esantį kūną statmenai atramos paviršiui. Ji atsiranda dėl nežymios atramos deformacijos veikiant kūnui. Kai kūnas guli ant horizontalaus paviršiaus, $N=mg$. Kai paviršius nuožulnus arba veikia papildomos vertikalios jėgos, $N$ nebūtinai lygi $mg$.

Interaktyvūs elementai:

• 🔗 Interaktyvi simuliacija „Masės ir spyruoklės: pagrindai“ (PhET) (Leidžia kabinti svarelius ant spyruoklių, matuoti pailgėjimą, tirti Huko dėsnį).
• Virtualus tyrimas: Huko dėsnio tyrimas naudojant virtualią laboratoriją arba renkant duomenis iš simuliacijos.

Trinties jėgos: slydimo ir rimties trintis

Kai du besiliečiantys kūnai juda arba bando judėti vienas kito atžvilgiu, atsiranda jėga, trukdanti šiam judėjimui – trinties jėga. Ji kyla dėl paviršių nelygumų ir molekulinės sąveikos tarp liečiančiųsi paviršių.

• Rimties trintis ($\vec{F}_{tr,r}$): Veikia tarp nejudančių vienas kito atžvilgiu kūnų, kai vieną iš jų bandoma pajudinti iš vietos. Ji yra lygi išorinei jėgai, bandančiai pajudinti kūną, ir nukreipta priešinga kryptimi. Ji gali didėti iki tam tikros maksimalios vertės: $$ F_{tr,r} \le F_{tr,r(max)} = \mu_r N $$ kur $N$ yra atramos reakcijos jėga, o $\mu_r$ – rimties trinties koeficientas, priklausantis nuo liečiančiųsi paviršių savybių.
• Slydimo trintis ($\vec{F}_{tr,s}$): Veikia tarp slystančių vienas kito atžvilgiu kūnų paviršių ir yra nukreipta priešinga slydimo greičio krypčiai. Jos modulis paprastai laikomas pastoviu (mažai priklauso nuo greičio) ir proporcingu atramos reakcijos jėgai: $$ F_{tr,s} = \mu_s N $$ kur $\mu_s$ yra slydimo trinties koeficientas. Paprastai $\mu_s < \mu_r$.
• Riedėjimo trintis: Atsiranda kūnui riedant kitu paviršiumi. Ji paprastai daug mažesnė už slydimo trintį.
• Trinties mažinimas ir didinimas: Trintį galima mažinti tepant paviršius, naudojant guolius (pakeičiant slydimo trintį riedėjimo). Kartais trintis yra naudinga (vaikščiojimas, stabdymas), tada ją stengiamasi padidinti (pvz., protektoriai ant padangų, pabarstymas smėliu).

Uždaviniai su keliomis jėgomis: Sprendžiant uždavinius, kai kūną veikia kelios jėgos (pvz., trauka, trintis, sunkio jėga, reakcijos jėga), svarbu:

1. Pavaizduoti visas kūną veikiančias jėgas brėžinyje.
2. Pasirinkti koordinačių sistemą (dažnai patogu vieną ašį nukreipti judėjimo kryptimi).
3. Užrašyti antrąjį Niutono dėsnį vektorine forma: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
4. Suprojektuoti šią lygtį į koordinačių ašis (rasti visų jėgų ir pagreičio projekcijas).
5. Sprendžiant gautą lygčių sistemą rasti nežinomus dydžius. Tai ypač aktualu sprendžiant uždavinius su nuožulniąja plokštuma ar surištais kūnais.

Interaktyvūs elementai:

• 🔗 Interaktyvi simuliacija „Trintis“ (PhET) (Leidžia tirti rimties ir slydimo trintį, keisti paviršius, reakcijos jėgą).

• Virtualus tyrimas: Trinties jėgos tyrimas, trinties koeficiento nustatymas.

• Uždavinio sprendimo pavyzdys:

  5 kg masės tašė tempiama horizontalia 30 N jėga horizontaliu paviršiumi. Slydimo trinties koeficientas tarp tašės ir paviršiaus yra 0.4. Kokiu pagreičiu juda tašė? ($g = 10 \, \text{m/s}^2$)

  Duota: $m = 5$ kg, $F_{temp} = 30$ N, $\mu_s = 0.4$, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.

  Rasti: $a = ?$.

  Sprendimas:

  1. Kūną veikia: sunkio jėga $F_s = mg$ (žemyn), atramos reakcijos jėga $N$ (aukštyn), tempimo jėga $F_{temp}$ (horizontaliai), slydimo trinties jėga $F_{tr,s}$ (horizontaliai, priešinga tempimui).

  2. Pasirenkame Ox ašį horizontaliai tempimo kryptimi, Oy ašį vertikaliai aukštyn.

  3. Užrašome II Niutono dėsnį projekcijomis:

  Oy ašis: $N - F_s = 0$ (nes vertikaliai kūnas nejuda, $a_y=0$). Iš čia $N = F_s = mg$.

  Ox ašis: $F_{temp} - F_{tr,s} = ma_x$. Reikia rasti $a_x = a$.

  4. Slydimo trinties jėga: $F_{tr,s} = \mu_s N = \mu_s mg$.

  $$ F_{tr,s} = 0.4 \cdot (5 \text{ kg}) \cdot (10 \text{ m/s}^2) = 20 \text{ N} $$

  5. Įstatome trinties jėgą į Ox ašies lygtį:

  $$ F_{temp} - \mu_s mg = ma $$

  $$ a = \frac{F_{temp} - \mu_s mg}{m} = \frac{30 \text{ N} - 20 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = \frac{10 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s}^2 $$

  Atsakymas: Tašė juda $2 \text{ m/s}^2$ pagreičiu.

• 🔗 Uždavinių su nuožulniąja plokštuma pavyzdžiai YouTube

Apibendrinimas

Šiame straipsnyje susipažinome su dinamikos pagrindais – jėgos sąvoka ir trimis Niutono dėsniais, kurie yra klasikinės mechanikos pamatas. Pirmasis dėsnis apibrėžia inerciją ir inercines sistemas, antrasis – kiekybiškai susieja jėgą, masę ir pagreitį, o trečiasis – aprašo sąveiką tarp kūnų. Taip pat išnagrinėjome svarbiausias mechanikoje pasitaikančias jėgas: visuotinės traukos (ir jos частный случай – sunkio jėgą bei svorį), tamprumo (Huko dėsnis) ir trinties (rimties ir slydimo). Supratimas, kaip šios jėgos veikia ir kaip taikyti Niutono dėsnius, leidžia analizuoti ir prognozuoti įvairių kūnų judėjimą realiose situacijose. Toliau gilinsimės į kitas svarbias dinamikos sąvokas – judesio kiekį ir energiją.

Klausimai pamąstymui

1. Ar gali kūnas judėti, jei jį veikianti atstojamoji jėga lygi nuliui? Jei taip, kaip jis juda?
2. Kodėl arklys gali tempti vežimą, nors pagal III Niutono dėsnį vežimas traukia arklį tokia pat jėga atgal? Į kokias jėgas reikia atsižvelgti?
3. Astronautas kosmose meta veržliaraktį. Kas atsitiks su astronautu? Kodėl? Kokį dėsnį tai iliustruoja?
4. Kodėl lengviau tempti roges sniegu nei asfaltu? Kokios jėgos čia svarbiausios?

Kur ieškoti daugiau?

• Interaktyvios simuliacijos (PhET Colorado):
  • 🔗 „Jėgos ir judėjimas: pagrindai“
  • 🔗 „Rampos: jėgos ir judėjimas“ (Nuožulnioji plokštuma, trintis)
  • 🔗 „Masės ir spyruoklės: pagrindai“ (Huko dėsnis)
  • 🔗 „Trintis“