Judėjimas yra vienas akivaizdžiausių fizikinių reiškinių aplink mus – juda automobiliai, skrenda paukščiai, krinta lapai, teka upės, juda planetos. Fizikos skyrius, nagrinėjantis kūnų judėjimą, nesiaiškinant judėjimo priežasčių, vadinamas kinematika. Šiame straipsnyje išsamiai panagrinėsime pagrindines kinematikos sąvokas ir dėsnius, kurie aprašo, kaip kūnai juda tiesia linija ar sudėtingesne trajektorija, pavyzdžiui, parabole.
Kas yra mechaninis judėjimas? Pagrindinės sąvokos
Kad galėtume aprašyti judėjimą, turime susitarti dėl pagrindinių sąvokų:
- Mechaninis judėjimas: Kūno padėties kitimas kitų kūnų atžvilgiu laikui bėgant. Svarbu pabrėžti reliatyvumą – kūnas gali judėti vienų kūnų atžvilgiu ir nejudėti kitų atžvilgiu (pvz., keleivis traukinyje).
- Atskaitos sistema: Sistema, susidedanti iš atskaitos kūno (kūno, kurio atžvilgiu stebimas judėjimas), su juo susietos koordinačių sistemos (dažniausiai stačiakampės Dekarto) ir laikrodžio (laikui matuoti).
- Materialusis taškas: Fizikinis modelis – kūnas, kurio matmenų ir formos galima nepaisyti nagrinėjant jo judėjimą. Šį modelį taikome, kai kūno matmenys yra daug mažesni už atstumus, kuriuos jis nueina, arba kai visi kūno taškai juda vienodai.
- Trajektorija: Linija, kuria juda kūnas (materialusis taškas). Pagal trajektorijos formą judėjimas gali būti tiesiaeigis arba kreivaeigis.
- Kelias ($s$): Kūno nueitos trajektorijos ilgis. Tai skaliarinis dydis (apibūdinamas tik skaitine verte), visada teigiamas arba lygus nuliui. Matuojamas metrais (m).
- Poslinkis ($\Delta \vec{r}$ arba $\vec{s}$): Kryptinė atkarpa (vektorius), jungianti kūno pradinę padėtį su galine. Tai vektorinis dydis (turi vertę ir kryptį). Poslinkio modulis (ilgumas) sutampa su keliu tik tiesiaeigio judėjimo viena kryptimi atveju.
Vaizdinė medžiaga: Schema, iliustruojanti atskaitos sistemą. Brėžinys, rodantis skirtumą tarp trajektorijos, kelio ir poslinkio kreivaeigio judėjimo atveju (pvz., taškas juda iš A į B ne tiesia linija – kelias yra kreivės ilgis, poslinkis – tiesi atkarpa AB su rodykle).
Greitis ir pagreitis: kaip greitai ir kaip staigiai keičiasi judėjimas?
Norint apibūdinti judėjimo spartumą ir jo kitimą, naudojami šie dydžiai:
-
Vidutinis greitis ($v_{vid}$): Viso nueito kelio ir judėjimo trukmės santykis (skaliarinis vidutinis greitis) arba poslinkio ir judėjimo trukmės santykis (vektorinis vidutinis greitis). Skaliarinis vidutinis greitis rodo, kaip greitai vidutiniškai buvo judama, bet ne kryptį. $$ v_{vid} = \frac{s_{visas}}{t_{visas}} $$ Vektorinis vidutinis greitis: $$ \vec{v}_{vid} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $$
-
Momentinis greitis ($\vec{v}$): Kūno greitis tam tikru laiko momentu arba tam tikrame trajektorijos taške. Tai vektorinis dydis, nukreiptas trajektorijos liestinės kryptimi judėjimo kryptimi. Jo modulis rodo judėjimo spartumą tuo momentu.
-
Tolygusis tiesiaeigis judėjimas: Judėjimas tiesia trajektorija pastoviu momentiniu greičiu ($\vec{v} = \text{const}$). Kūno poslinkis per laiką $t$ apskaičiuojamas: $$ \Delta \vec{r} = \vec{v} t $$ Koordinatės lygtis (judant išilgai Ox ašies): $$ x(t) = x_0 + v_x t $$ kur $x_0$ yra pradinė koordinatė, $v_x$ – greičio projekcija Ox ašyje (gali būti teigiama arba neigiama).
-
Pagreitis ($\vec{a}$): Fizikinis dydis, apibūdinantis greičio kitimo spartą ir kryptį. Tai vektorinis dydis. $$ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v} - \vec{v}_0}{\Delta t} $$ SI vienetas – m/s². Jei pagreitis nukreiptas ta pačia kryptimi kaip greitis, kūnas greitėja; jei priešinga kryptimi – lėtėja. Jei pagreitis statmenas greičiui, keičiasi tik greičio kryptis (judėjimas apskritimu).
-
Tolygiai kintamas judėjimas: Judėjimas, kurio metu kūno pagreitis yra pastovus ($\vec{a} = \text{const}$). Dažniausiai nagrinėjamas tiesiaeigis tolygiai kintamas judėjimas. Šiam judėjimui galioja šios lygtys:
- Momentinio greičio lygtis: $$ v_x(t) = v_{0x} + a_x t $$
- Koordinatės lygtis: $$ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $$
- Poslinkio (kelio, jei judama viena kryptimi) formulė, kai nežinomas laikas: $$ \Delta x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2 a_x} $$ kur $v_{0x}$ yra pradinio greičio projekcija, $a_x$ – pagreičio projekcija.
Grafikai kinematikoje: Judėjimą patogu analizuoti naudojant grafikus:
- Koordinatės-laiko grafikas ($x(t)$): Tolygiajam judėjimui – tiesė (posvyrio kampo tangentas lygus $v_x$). Tolygiai kintamam judėjimui – parabolė.
- Greičio-laiko grafikas ($v_x(t)$): Tolygiajam judėjimui – horizontali tiesė. Tolygiai kintamam judėjimui – pasvirusi tiesė (posvyrio kampo tangentas lygus $a_x$). Plotas, kurį $v_x(t)$ grafikas riboja su laiko ašimi, yra lygus kūno poslinkiui $\Delta x$.
- Pagreičio-laiko grafikas ($a_x(t)$): Tolygiajam judėjimui – tiesė ant laiko ašies ($a_x = 0$). Tolygiai kintamam judėjimui – horizontali tiesė ($a_x = \text{const}$).
Vaizdinė medžiaga: Įvairių judėjimo tipų grafikų ($x(t)$, $v_x(t)$, $a_x(t)$) pavyzdžiai. Iliustracija, rodanti ploto po $v_x(t)$ grafiku prasmę.
Interaktyvūs elementai:
-
🔗 Interaktyvi simuliacija „Judantis žmogus“ (PhET) leidžia patiems valdyti žmogaus judėjimą ir stebėti jo koordinačių, greičio bei pagreičio grafikus.
-
Uždavinio sprendimo pavyzdys:
Automobilis pradeda važiuoti iš ramybės būsenos ir per 10 s pasiekia 20 m/s greitį, judėdamas tiesiai ir tolygiai greitėdamas. Raskite automobilio pagreitį ir nuvažiuotą kelią.
Duota: $v_0 = 0$ m/s, $v = 20$ m/s, $t = 10$ s, $a = \text{const}$.
Rasti: $a = ?$, $\Delta x = ?$.
Sprendimas:
1. Pagreitį randame iš greičio lygties: $v = v_0 + at \Rightarrow a = (v - v_0) / t$
$$ a = (20 \text{ m/s} - 0 \text{ m/s}) / 10 \text{ s} = 2 \text{ m/s}^2 $$
2. Nuvažiuotą kelią (poslinkį) randame iš koordinatės lygties (pasirenkame $x_0 = 0$): $\Delta x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
$$ \Delta x = (0 \text{ m/s}) \cdot (10 \text{ s}) + \frac{1}{2} (2 \text{ m/s}^2) (10 \text{ s})^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 100 \text{ m} = 100 \text{ m} $$
Atsakymas: Pagreitis $a = 2 \text{ m/s}^2$, nuvažiuotas kelias $\Delta x = 100$ m.
Laisvasis kūnų kritimas: Žemės traukos galia
Vienas svarbus tolygiai kintamo judėjimo pavyzdys yra laisvasis kūnų kritimas – judėjimas veikiant tik Žemės traukos (sunkio) jėgai. Oro pasipriešinimo nepaisome.
- Laisvojo kritimo pagreitis ($\vec{g}$): Visi laisvai krintantys kūnai, nepriklausomai nuo jų masės, juda vienodu pagreičiu, nukreiptu vertikaliai žemyn. Prie Žemės paviršiaus jo modulis $g \approx 9.8 , \text{m/s}^2$. Skaičiavimuose dažnai naudojama suapvalinta vertė $g \approx 10 , \text{m/s}^2$.
- Lygtys: Laisvajam kritimui taikomos bendrosios tolygiai kintamo judėjimo lygtys, tik pagreitį $a_y$ keičiame į $-g$ (jei y ašis nukreipta aukštyn) arba $+g$ (jei y ašis nukreipta žemyn). Pavyzdžiui, jei y ašis nukreipta aukštyn: $$ v_y(t) = v_{0y} - gt $$ $$ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} $$
Vaizdinė medžiaga: 🔗 Video demonstruojantis laisvą kritimą vakuume (pvz., plunksna ir plaktukas Mėnulyje iš Apollo 15 misijos).
Interaktyvūs elementai:
- Eksperimentas: Laisvojo kritimo pagreičio $g$ nustatymas. Tai galima atlikti naudojant svyruoklę (matematinę ar fizinę), matuojant kūno kritimo laiką iš tam tikro aukščio arba analizuojant filmuotą medžiagą specialiomis programomis (pvz., Tracker). 🔗 Idėjos $g$ nustatymo eksperimentui YouTube
Kūno judėjimas veikiant sunkio jėgai: sviedinio kelias
Dažnai kūnai juda veikiami sunkio jėgos, bet turi ir pradinį greitį, nenukreiptą vertikaliai (pvz., horizontaliai mesta strėlė, kampu į horizontą išsviestas kamuolys). Toks judėjimas vyksta plokštumoje ir yra dviejų nepriklausomų judėjimų – tolygio tiesiaeigio judėjimo horizontalia kryptimi (nes horizontalia kryptimi jėgos neveikia, $a_x = 0$) ir tolygiai kintamo judėjimo vertikalia kryptimi (laisvojo kritimo, $a_y = -g$) – sudėtis.
- Horizontaliai mesto kūno judėjimas: Pradinis greitis $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$. Lygtys (y ašis aukštyn, x ašis horizontaliai, $x_0=0, y_0=h$): $$ x(t) = v_0 t $$ $$ y(t) = h - \frac{gt^2}{2} $$ Trajektorija yra parabolės šaka.
- Kampu į horizontą mesto kūno judėjimas: Pradinis greitis $\vec{v}0$ sudaro kampą $\alpha$ su horizontu. Pradinio greičio projekcijos: $v{0x} = v_0 \cos\alpha$, $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$. Lygtys (y ašis aukštyn, x ašis horizontaliai, $x_0=0, y_0=0$): $$ x(t) = (v_0 \cos\alpha) t $$ $$ y(t) = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2} $$ Trajektorija yra parabolė. Galima apskaičiuoti skriejimo trukmę, maksimalų pakilimo aukštį, skriejimo nuotolį.
Vaizdinė medžiaga: Brėžiniai, vaizduojantys horizontaliai ir kampu mesto kūno trajektorijas, greičio vektoriaus skaidymą į projekcijas.
Interaktyvūs elementai:
-
🔗 Interaktyvi simuliacija „Sviedinio judėjimas“ (PhET) leidžia keisti metimo kampą, pradinį greitį, masę (įsitikinti, kad ji neturi įtakos trajektorijai nesant oro pasipriešinimo) ir stebėti trajektoriją.
-
Virtualus tyrimas: Analizuoti vaizdo įrašą (pvz., filmuotą krepšinio metimą) naudojant programą „Tracker“ 🔗 Tracker Video Analysis and Modeling Tool ir nustatyti kūno koordinates, greičius, pagreičius x ir y ašyse.
-
Uždavinio sprendimo pavyzdys:
Nuo 20 m aukščio stataus skardžio horizontaliai išmestas akmuo, kurio pradinis greitis 15 m/s. Po kiek laiko akmuo nukris ant žemės ir kokiu atstumu nuo skardžio jis nukris? Oro pasipriešinimo nepaisykite, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.
Duota: $h = y_0 = 20$ m, $v_{0x} = 15$ m/s, $v_{0y} = 0$ m/s, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.
Rasti: $t_{skr} = ?$, $L = x(t_{skr}) = ?$.
Sprendimas:
1. Nukritimo laiką $t_{skr}$ randame iš vertikaliojo judėjimo lygties $y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$. Kai akmuo nukrenta, $y(t_{skr}) = 0$.
$$ 0 = h + 0 \cdot t_{skr} - \frac{g t_{skr}^2}{2} \Rightarrow \frac{g t_{skr}^2}{2} = h \Rightarrow t_{skr}^2 = \frac{2h}{g} $$
$$ t_{skr} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ m}}{10 \text{ m/s}^2}} = \sqrt{4 \text{ s}^2} = 2 \text{ s} $$
2. Skriejimo nuotolį $L$ randame iš horizontaliojo judėjimo lygties $x(t) = x_0 + v_{0x} t$ (pasirenkame $x_0=0$).
$$ L = x(t_{skr}) = 0 + v_{0x} t_{skr} = (15 \text{ m/s}) \cdot (2 \text{ s}) = 30 \text{ m} $$
Atsakymas: Akmuo nukris po 2 s, 30 m atstumu nuo skardžio.
-
🔗 Struktūrinių klausimų pavyzdžiai „Kampu į horizontą mesto kūno judėjimas“ Google paieškoje
Galilėjaus reliatyvumo principas: judėjimas skirtingose sistemose
Klasikinėje mechanikoje galioja Galilėjaus reliatyvumo principas: visi mechaniniai reiškiniai visose inercinėse atskaitos sistemose vyksta vienodai.
- Inercinė atskaitos sistema: Sistema, kurioje galioja pirmasis Niutono dėsnis (kūnas, neveikiamas jėgų arba veikiamas kompensuotų jėgų, išlaiko ramybės būseną arba juda tiesiai ir tolygiai). Bet kuri sistema, judanti tiesiai ir tolygiai kitos inercinės sistemos atžvilgiu, taip pat yra inercinė. Žemė dažnai laikoma apytiksliai inercine sistema.
- Greičių sudėties taisyklė: Jei kūnas juda greičiu $\vec{v}'$ judančios atskaitos sistemos atžvilgiu, o ši sistema juda greičiu $\vec{V}$ nejudančios sistemos atžvilgiu, tai kūno greitis nejudančios sistemos atžvilgiu yra: $$ \vec{v} = \vec{v}' + \vec{V} $$ Ši taisyklė galioja greičiams, daug mažesniems už šviesos greitį.
Vaizdinė medžiaga: Schema, iliustruojanti greičių sudėtį (pvz., žmogus eina judančiu eskalatoriumi).
Interaktyvūs elementai:
-
Uždavinio sprendimo pavyzdys:
Valtis plaukia pasroviui 3 m/s greičiu upės atžvilgiu. Upės tėkmės greitis kranto atžvilgiu yra 1 m/s. Kokiu greičiu valtis juda kranto atžvilgiu?
Duota: $\vec{v}'$ (valties greitis upės atžvilgiu) modulis = 3 m/s, $\vec{V}$ (upės greitis kranto atžvilgiu) modulis = 1 m/s. Valtis plaukia pasroviui, todėl $\vec{v}'$ ir $\vec{V}$ kryptys sutampa.
Rasti: $\vec{v}$ (valties greitis kranto atžvilgiu) modulį.
Sprendimas: Taikome greičių sudėties taisyklę $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{V}$. Kadangi vektoriai vienakrypčiai, jų modulius sudedame:
$$ v = v' + V = 3 \text{ m/s} + 1 \text{ m/s} = 4 \text{ m/s} $$
Atsakymas: Valtis kranto atžvilgiu juda 4 m/s greičiu.
-
🔗 Struktūrinių klausimų pavyzdžiai „Judėjimo reliatyvumas“ Google paieškoje
Apibendrinimas
Šiame straipsnyje išnagrinėjome pagrindinius kinematikos principus, apibrėžėme tokias sąvokas kaip kelias, poslinkis, greitis ir pagreitis. Aptarėme tolygųjį ir tolygiai kintamą judėjimą, jų lygtis ir grafinį vaizdavimą. Išsamiau panagrinėjome laisvąjį kūnų kritimą ir sudėtingesnį judėjimą veikiant sunkio jėgai (horizontaliai ir kampu mesto kūno judėjimą). Galiausiai susipažinome su Galilėjaus reliatyvumo principu ir greičių sudėties taisykle. Šios žinios yra būtinos norint suprasti judėjimo priežastis, kurias nagrinėsime kituose skyriuose apie jėgas ir dinamiką.
Klausimai pamąstymui
- Ar gali kūno nueitas kelias būti lygus nuliui, o poslinkis – ne? O atvirkščiai? Paaiškinkite ir pateikite pavyzdžių.
- Ką rodo neigiama greičio projekcijos $v_x$ vertė? O neigiama pagreičio projekcijos $a_x$ vertė?
- Du kūnai – plunksna ir akmuo – metami vienu metu iš to paties aukščio Žemėje ir Mėnulyje (kur nėra atmosferos). Palyginkite jų kritimo laikus abiem atvejais. Kodėl jie skiriasi (arba nesiskiria)?
- Kodėl sviedžiant kamuolį kampu į horizontą toliausiai jis nuskrieja, kai metimo kampas yra 45° (nepaisant oro pasipriešinimo)?
Kur ieškoti daugiau?
- Interaktyvios simuliacijos (PhET Colorado):
- 🔗 „Judantis žmogus“ (tiesiaeigis judėjimas, grafikai)
- 🔗 „Sviedinio judėjimas“ (judėjimas veikiant sunkio jėgai)
- Video pamokos:
- Uždavinių sprendimo pavyzdžiai: